Metodi iterativi
prof. Matteo Lugli
Created: 2024-05-03 ven 10:39
Table of Contents
Metodo di Bisezione
https://www.youtube.com/watch?v=zkd6CLfNNe8
Idea
Partiamo con due punti che stanno uno sopra e l'altro sotto l'asse delle x della nostra funzione
A ogni iterazione calcoliamo il punto medio dell'intervallo: la nostra soluzione si trovera' sicuramente o a destra o a sinistra del punto medio
La parte giusta e' quella in cui le immagini dei due estremi dell'intervallo continuano ad essere uno sopra e l'altro sotto l'asse delle x.
Codice
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return pow(x,4) - 4*pow(x,2)
l = 1
r = 8
n = 1000
step = (r-l)/n
x = [l + i*step for i in range(n)]
y = [f(xi) for xi in x]
zeri = [0 for xi in x]
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,zeri)
m = (l+r)/2
target = f(m)
i = 0
while target != 0:
if(i == 5):
break
if(target * f(l)) < 0:
r = m
else:
l = m
m = (l+r)/2
target=f(m)
i+=1
plt.plot(m,0,'ro')
plt.show()
Metodo di Newton
Idea
Si parte da un punto arbitrario sull'asse delle \(x\).
"Approssimiamo" la funzione in quel punto con una retta, in particolare con la retta che passa per il punto \(f(x)\) e ha pendenza pari a \(f'(x)\).
Il prossimo punto della successione e' il punto in cui la retta interseca l'asse delle \(x\).
I valori della successione \({x_0, x_1, x_2, ...x_k}\) si avvicinano sempre di piu' alla vera radice della funzione.
Codice
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return pow(x,4) - 4*pow(x,2)
def der(x):
return (4*pow(x,3)) - (8*x)
xcurrent = -1.5
precision = 10e-5
while True:
xnext = xcurrent - (f(xcurrent)/der(xcurrent))
if(abs(f(xnext)) < precision):
break
xcurrent = xnext
# disegnamo la funzione
n = 10000
start = -2.1
end = 2.1
n = 10000
step = (end - start) / n
x_axis =[start+i*step for i in range(n)]
y_axis = [f(x) for x in x_axis]
zero = [0 for i in range(len(x_axis))]
# plot della funzione
plt.plot(x_axis, y_axis)
# plot dell'asse x
plt.plot(x_axis, zero)
# plot del punto trovato
plt.plot(xcurrent, f(xcurrent), '-ro')
plt.show()